Étude éléments finis paramétrique d'une cornière (L-bracket) sous CalculiX, avec balayage de 50 designs et identification d'un front de Pareto masse / contrainte

XiLAB3dplus — Étude exploratoire Étude éléments finis paramétrique d’une cornière (L-bracket) sous CalculiX, avec balayage de 50 designs et identification d’un front de Pareto masse / contrainte.

1. Objectif

Identifier les couples (masse, contrainte) accessibles pour un L-bracket en acier S235 chargé en flexion à son extrémité, en faisant varier trois paramètres géométriques :

• L — longueur d’aile (les deux ailes identiques)
• W — largeur (hors-plan)
• t — épaisseur

Sortie finale : un front de Pareto des designs non-dominés, et la loi multivariée σ = f(L, W, t) calée sur les calculs FEM.

2. Géométrie & paramètres

Cornière en L, ailes orthogonales, congé intérieur de rayon r = t pour éviter la singularité d’angle droit.

Matériau : acier S235

• E = 210 000 MPa
• ν = 0.3
• ρ = 7.85 × 10⁻⁹ t/mm³
• Re = 235 MPa (limite d’élasticité — tracée en pointillé sur les graphes)

Unités de travail : mm, N, MPa, t (tonnes).

3. Conditions aux limites

• Encastrement sur la face arrière de l’aile verticale (x = 0) — toutes les composantes du déplacement bloquées.
• Effort total F = 1000 N dirigé selon −y (vers le bas), réparti en forces nodales équivalentes (F/N par nœud) sur la face d’extrémité de l’aile horizontale (x = L).

Le total de l’effort est constant entre designs ; seules les dimensions varient. La comparaison de contraintes entre designs est donc équitable.

4. Maillage

gmsh 4.15 [2] — tétraèdres quadratiques C3D10 (4 sommets + 6 nœuds de mi-arête, fonction de forme parabolique → capture le gradient linéaire de déformation par élément, voir [5]).

Stratégie de tailles :

• Au congé : taille h = r/6 (≈ 6 éléments le long du quart de cercle)
• En volume (loin du congé) : taille h = t/3 — garantit la règle des 3 éléments dans l’épaisseur, recommandation standard pour capturer un gradient linéaire de déformation dans une section fléchie [6].

Note permutation Tet10 : les nœuds 9 et 10 sont permutés entre la convention gmsh (MSH) et la convention Abaqus / CalculiX C3D10. Cette permutation est appliquée à l’écriture du .inp, vérifiée par comparaison avec le writer Abaqus natif de gmsh.

Visualisation des 50 maillages générés de manière automatique grâce à un script Python (ordre de calcul ; cadre rouge = front de Pareto) :

On observe que les cas à faible épaisseur (t = 3 mm) sont sensiblement plus densément maillés (jusqu’à 130 k éléments) que les cas épais (t = 10 mm, ~25 k éléments) : la contrainte h ≤ t/3 impose une taille de maille proportionnelle à l’épaisseur.

5. Solveur

CalculiX 2.23 [1] en analyse linéaire statique. Solveur direct SPOOLES, mono-thread.

Sorties par cas :

• model.frd — résultats binaires CalculiX (relisibles par CGX)
• model.vtu — converti via ccx2paraview (ouvrable dans ParaView [9])

6. Exemples de champ de contraintes

Sur un design optimal déduit du Pareto (case 008 : L=58, W=57, t=8.2, masse 0.40 kg, σ_max = 86 MPa) :

La concentration de contrainte se localise nettement le long du congé intérieur ; ailleurs le matériau est très peu sollicité.

Sur un design léger et fin (case 047 : L=102, W=33, t=3.2, masse 0.16 kg, σ_max = 2265 MPa, u_tip = 17 mm) :

La pièce flèche fortement (déformation tracée à l’échelle réelle ×1), et la contrainte au congé dépasse largement la limite élastique de l’acier. Ce design serait inutilisable en pratique — il sert ici à borner le domaine d’étude.

Mesure de σ_vM_max : dans le script Python on filtre la mesure σ_vM_max sur la zone du congé (x ∈ [t, t+r] × y ∈ [t, t+r]) pour ignorer la singularité d’encastrement et les pics au point d’application de la charge (principe de Saint-Venant [7]). La quantité extraite est donc la contrainte structurellement dimensionnante, pas un artefact de modélisation. Sa valeur dépend du facteur de concentration Kt du congé [8].

7. Plan d’expérience

Latin Hypercube Sampling [4] sur les 3 paramètres, 50 échantillons. La méthode LHS donne une meilleure couverture du domaine que l’échantillonnage Monte-Carlo simple à effectif équivalent [10].

• 49 / 50 cas convergés en 37 min (1 cas — le plus fin+large — sature les 16 Go de RAM sur Calculix et est marqué FAIL).
• Plage σ_vM_max observée : 66 – 3600 MPa
• Plage masse : 0.10 – 0.97 kg

Aperçu des 50 designs balayés, à l’échelle absolue, triés par masse croissante (couleur = σ_vM,max ; cadre rouge = front de Pareto) :

Même planche en rendu 3D, dans l’ordre de calcul (case_001 → case_050), chaque pièce colorée par σ_vM sur échelle logarithmique commune :

8. Front de Pareto

8 designs forment le front de Pareto (non-dominés au sens minimiser masse ET contrainte). De masse croissante :

Lecture :

• Le front est convexe, décroissant : tout gain en masse coûte en contrainte et inversement [11].

• Pour rester sous la limite d’élasticité S235 (235 MPa), il faut une masse d’au moins ~0.24 kg (case 015).

• Tous les designs du front ont L ≤ 70 mm — les “ailes” longues sont systématiquement dominées dans cette gamme de charge.

• Les designs lourds hors-front (>0.6 kg) sont dominés : pénalité de masse sans bénéfice en contrainte → à éviter.

9. Sensibilité

Sur chaque panneau, on a tracé la régression log-log log σ ~ log(paramètre) avec sa pente et son coefficient de corrélation R. Plus la droite est raide (|pente|) et plus les points y collent (|R| → 1), plus le paramètre est dominant.

Annexe — reproductibilité

# Étude complète
python3 run_study.py 50 --clean        # ≈ 37 min sur Mac M-series, 1 thread

# Post-traitement
python3 plot_pareto.py                 # front + sensibilité + loi multivariée
python3 render_stress.py 8             # rendu d'un cas particulier

# Visualisation ParaView
paraview results/case_008/model.vtu

Scripts Python du projet :

Versions logicielles utilisées : CalculiX 2.23, gmsh 4.15.1, ccx2paraview, meshio 5.3.5, numpy 2.1, scipy 1.17, pandas 2.3, matplotlib 3.10, pyvista 0.47.

Accès aux 50 cas tests — l’intégralité des fichiers d’entrée et de sortie (.inp CalculiX, .frd résultats binaires, .vtu pour ParaView) est mise à disposition sur Google Drive : Télécharger l’archive (50 cas).

Références

Logiciels & méthodes numériques

[1] Dhondt, G. (2004). The Finite Element Method for Three-Dimensional Thermomechanical Applications. Wiley, Chichester. — Base théorique de CalculiX, par son auteur. Voir aussi le manuel utilisateur en ligne : Dhondt, G. & Wittig, K., CalculiX CrunchiX User’s Manual, http://www.dhondt.de/ccx_2.23.pdf.

[2] Geuzaine, C., & Remacle, J.-F. (2009). “Gmsh: A 3-D finite element mesh generator with built-in pre- and post-processing facilities.” International Journal for Numerical Methods in Engineering, 79(11), 1309–1331. https://doi.org/10.1002/nme.2579.

[3] Marot, C., Pellerin, J., & Remacle, J.-F. (2019). “One machine, one minute, three billion tetrahedra.” International Journal for Numerical Methods in Engineering, 117(9), 967–990. https://doi.org/10.1002/nme.5987. — Algorithme HXT utilisé pour le maillage 3D parallèle de gmsh.

[9] Ahrens, J., Geveci, B., & Law, C. (2005). “ParaView: An End-User Tool for Large Data Visualization.” In Visualization Handbook, Elsevier. ISBN 978-0123875822.

Méthode des éléments finis & qualité de maillage

[5] Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., & Zhu, J. Z. (2013). The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (7e éd.). Butterworth-Heinemann. — Référence canonique sur les éléments quadratiques (tétraèdre Tet10 / C3D10, fonctions de forme paraboliques).

[6] Cook, R. D., Malkus, D. S., Plesha, M. E., & Witt, R. J. (2002). Concepts and Applications of Finite Element Analysis (4e éd.). Wiley. ISBN 978-0471356059. — Discussion de la règle empirique des 3 éléments dans l’épaisseur pour capturer un gradient linéaire de déformation.

[7] Toupin, R. A. (1965). “Saint-Venant’s Principle.” Archive for Rational Mechanics and Analysis, 18, 83–96. https://doi.org/10.1007/BF00282253. — Énoncé moderne du principe de Saint-Venant invoqué pour ignorer les pics de contrainte au voisinage de l’encastrement et du chargement.

[8] Pilkey, W. D., & Pilkey, D. F. (2008). Peterson’s Stress Concentration Factors (3e éd.). Wiley. ISBN 978-0470048245. — Tabulation des facteurs Kt pour congés et changements de section.

Plan d’expérience & analyse

[4] McKay, M. D., Beckman, R. J., & Conover, W. J. (1979). “A Comparison of Three Methods for Selecting Values of Input Variables in the Analysis of Output from a Computer Code.” Technometrics, 21(2), 239–245. https://doi.org/10.2307/1268522. — Article fondateur du Latin Hypercube Sampling.

[10] Helton, J. C., & Davis, F. J. (2003). “Latin hypercube sampling and the propagation of uncertainty in analyses of complex systems.” Reliability Engineering & System Safety, 81(1), 23–69. https://doi.org/10.1016/S0951-8320(03)00058-9.

[11] Deb, K. (2001). Multi-Objective Optimization using Evolutionary Algorithms. Wiley. ISBN 978-0471873396. — Cadre formel du front de Pareto et de la domination dans l’optimisation multi-objectif.

[12] Buckingham, E. (1914). “On Physically Similar Systems; Illustrations of the Use of Dimensional Equations.” Physical Review, 4(4), 345–376. https://doi.org/10.1103/PhysRev.4.345. — Théorème π, justification des lois en produit de puissances ajustées par régression log-log.

[13] Wooldridge, J. M. (2019). Introductory Econometrics: A Modern Approach (7e éd.). Cengage. ISBN 978-1337558860. — Chapitre 3 : biais de variable omise et différence entre coefficient simple et coefficient partiel en régression multiple.

Mécanique des poutres

[14] Timoshenko, S. P., & Gere, J. M. (1972). Mechanics of Materials. Van Nostrand Reinhold. — Formule classique de la flexion d’une poutre encastrée-libre, base de l’expression σ = 6FL/(Wt²) utilisée comme référence analytique.

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